Отпусти меня

В пару дней назад в Эмиратах мне потребовалось решить простенькое квадратное уравнение, и я к своему ужасу обнаружил, что очень смутно помню, как его решать. Формулу дискриминанта не удавалось вспомнить никак.

Первой мыслью было залезть с мобилки в интернет, например в Википедию, и посмотреть эти формулы. Но я сдержался. В самом деле, думал я, неужели после пяти курсов института я не смогу сам вывести это решение?

Я взял чистый листок бумаги и записал квадратное уравнение:
ax²+bx+c=0

Как берется производная, я помню хорошо. Значит, я легко могу найти ось параболы, это то место, где производная равна нулю:
y=ax²+bx+c
y'=2ax+b
y'=0; x=-b/2a

Тут я для себя сделал замечательное открытие. В школе и институте во мне жило ошибочное чувство, что второй коэффициент влияет на кривизну функции. Рассуждал я так: если y=x² - это чистая парабола, y=x - это диагональная прямая, то при их суммировании y=x²+x левая половина параболы опускается, а правая - поднимается.

Но если посмотреть на производную, то видно, что изменение кривизны - это линейная функция, и от коэффициента b зависит только точка перелома, т.е. положение оси симметрии.

То есть, парабола общего вида y=ax²+bx+c является просто параболой y=ax², смещенной от центра координат на некоторое значение, определяемое bx+c. В школе об этом говорили, но ясно осознать, почему это происходит, я смог только сейчас.

Если по иксу вершина параболы смещена на -b/2a, то подставляя это значение в формулу параболы, мы получим смещение по игрек:
y=ab²/4a+b(-b/2a)+c;
y=-b²/4a+c

Это значит, что наша функция y=ax²+bx+c - это просто y=ax², смещенная по x на -b/2a, и по y на -b²/4a+c, причем -b/2a является осью симметрии.

От точки вершины рога параболы будут расти вверх (или вниз), чтобы пересечься (или не пересечься) с осью Ox. Чтобы найти корни уравнения, нужно знать расстояние между рогами в точке пересечения с осью абсцисс. Это легко, задача сводится к тому, чтобы узнать, на сколько надо измениться иксу, чтобы функция y=ax² изменилась на -b²/4a+c.

Приравняем, меняя знак правой части:
ax²=b²/4a-c;
отсюда
x=+-sqrt(b²-4ac)/2a

От значения под корнем зависит количество решений, это и есть дискриминант!

Теперь это расстояние отмеряем справа и слева от оси симметрии:
x=(-b+-sqrt(b²-4ac))/2a

А это и есть решение!

Когда я поставил точку и сверился с википедией, меня отпустило. Кажется, вторая кафедра высшей математики во главе с Миронцом, Владимировым и Цешковским больше не будет сниться в тягучих ночных кошмарах.